1. D hinter die drei stellen;
2. D vor die drei stellen;
3. D zwischen den ersten und den zweiten Gegenstand stellen;
4. D zwischen den zweiten und dritten Gegenstand stellen.
Insgesamt erhalten wir folglich 6 x 4 = 24 Positionen. Da 6 = 2 x 3 ist, und 2 = 1 x 2, so kann man die Anzahl aller Anordnungen als Produkt von 1 x 2 x 3 x 4 = 24 darstellen.
Gehen wir gleichermaßen im Falle von fünf Gegenständen vor, erkennen wir, dass für sie die Anzahl der Anordnungen gleich 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120ist.
Für sechs Gegenstände 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 usw.
Und nun zurück zu dem Fall der 10 Mittaggäste:
Die Zahl der hier möglichen Anordnungen ergibt sich, wenn wir uns die Mühe machen, das Produkt aus 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 zu errechnen.
Dann erhalten wir die oben genannte Zahl: 3 628 800
Die Rechnung wäre komplizierter, wenn unter den 10 Speisegästen fünf Mädchen wären und sie es wünschen würden, stets zwischen zwei jungen Herren am Tisch zu sitzen. Obgleich die Anzahl der Anordnungen wesentlich geringer wird, ist das Ausrechnen ein wenig schwieriger.
Mag sich - gleichgültig wohin - ein junger Mann an den Tisch setzen. Die vier anderen können sich, so dass zwischen ihnen stets ein Platz für die Mädchen frei bleibt, in 1 x 2 x 3 x 4 = 24 verschiedenen Anordnungen setzen. Da es insgesamt 10 Stühle sind, kann sich der erste junge Mann in 10 Anordnungen plazieren. Also ist die Zahl aller möglichen Anordnungen für die jungen Männer 10 x 24 = 240.
In wieviel verschiedenen Anordnungen können sich nun auf die freien Stühle zwischen den jungen Herren die 5 Mädchen setzen? Offensichtlich 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 Varianten. Vereinigen wir jede der 240 Sitzanordnungen der jungen Männer mit jeder der 120Sitzanordnungen der Mädchen, erhalten wir die Zahl der möglichen Platzverteilung: 240 x 120 = 28 800
Diese Zahl ist um ein Vielfaches geringer als die vorhergehende und würde nicht ganz 79 Jahre erfordern. Würden die jungen Restaurantgäste 100 Jahre alt werden, könnten sie ein kostenloses Mittagessen erleben. Wenn nicht von dem gleichen Kellner, dann von seinem Nachfolger.
Da wir nun Permutationen berechnen können, können wir auch bestimmen, wieviel unterschiedliche Anordnungen die Spielsteine im Spiel mit 15 *) möglich sind. Mit anderen Worten, wir können die Zahl aller Aufgaben, die uns das Spiel zu stellen vermag, berechnen. Es ist leicht zu verstehen, dass die Berechnung auf die Bestimmung der Permutationszahl von 15 Gegenständen hinausläuft.
Wir wissen schon, dass dazu multipliziert werden muß: 1 x 2 x 3 x 4..... x 14 x 15.
Die Ausrechnung ergibt: 1.307.674.365.000, das ist mehr als eine Billion.
Die Hälfte dieser gewaltigen Zahl von Aufgaben ist nicht lösbar. Es gibt also, über 600 Milliarden unlösbare Stellungen in diesem Spiel. Daraus erklärt sich teilweise die Begeisterungsepidemie für das "Spiel mit 15", von der die Menschen erfaßt wurden, ohne zu vermuten, dass eine solche riesige Zahl nicht lösbarer Fälle existiert. Bemerken wir noch dazu, dass, wenn es denkbar wäre, den Spielsteinen jede Sekunde eine neue Stellung zu geben, so wären bei pausenloser Bestätigung während des ganzen Tages über 40 000 Jahre nötig.
Beenden wir unsere Unterhaltung über die Permutationsanzahl mit einer Aufgabe aus dem Schulleben. In der Klasse sind 25 Schüler.
In wieviel verschiedenen Anordnungen können sie auf den Bänken sitzen?
Der Lösungsweg für diese Aufgabe (für jene, die sich alles schon Gesagte zu eigen gemacht haben) ist ganz unkompliziert. Man muß 25 Zahlen: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x .... x 23 x 24 x 25 multiplizieren.
Die Mathematik kennt Methoden, viele Rechenoperationen zu verkürzen, doch Berechnungen in der Art wie eben angeführt, vermag sie nicht zu erleichtern. Es existiert kein anderer Weg, um diese Rechenoperation genau durchzuführen, als gewissenhaft alle diese Zahlen zu multiplizieren. Nur die geschickte Gruppierung der Multiplikatoren ermöglicht eine geringe Verkürzung der Rechenzeit. Das Ergebnis ist enorm; es besteht aus 26 Ziffern. Das ist eine Zahl, deren Größe unser Vorstellungsvermögen übersteigt.
Hier ist sie: 15.511.210.043.330.985.984.000.000.
Von allen Zahlen, denen wir bisher begegnet sind, ist das natürlich die größte und ihr gebührt mehr als allen anderen das Recht, "Riesenzahl" genannt zu werden.
Die Zahl der kleinsten Tropfen in allen Ozeanen und Meeren des Erdballs ist bescheiden im Vergeich zu dieser riesenhaften Zahl.
*) Ein Spiel, was die Menschen früher, ähnlich wie die Leute heute beim Sudoku, begeisterte.
Hierbei mußte stets ein freies Feld im rechten unteren Eck verbleiben.
turning your attention from What to How
Die Denksportaufgaben sind für nachdenkliche Leute gedacht, die sich der oft gefürchteten Mathematik gern erinnern,
diese als Kurzweil allein oder in Geselligkeit mit Gleichgesinnten verwerten und dabei den Spaß nicht vergessen wollen. Viel Erfolg!
diese als Kurzweil allein oder in Geselligkeit mit Gleichgesinnten verwerten und dabei den Spaß nicht vergessen wollen. Viel Erfolg!
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