Lösung:
Sei Z(n) [n aus N] eine n-stellige Zahl. Jede Ziffer z der Zahl Z(n) wird nach ihrer Stellung in Z(n) mit z1, z2, z3, ... , zn bezeichnet.
Zahlenbeispiel: Z(9) = z1z2z3z4z5z6z7z8z9. Ziffernbeispiel: Z(7) = 8793541 hat an der Stelle n = 4 die Zifferzahl z4 = 3
Zahlenbeispiel: Z(9) = z1z2z3z4z5z6z7z8z9. Ziffernbeispiel: Z(7) = 8793541 hat an der Stelle n = 4 die Zifferzahl z4 = 3
Wir suchen diejenige 9-stellige Zahl Z(9), die die Aufgabenbedingungen erfüllt.
Die Zahl ist 381654729
Denn es gilt:
381654729 : 9 = 42406081
38165472 : 8 = 477068
3816547 : 7 = 545221
381654 : 6 = 63609
38165 : 5 = 7633
3816 : 4 = 954
381 : 3 = 127
38 : 2 = 19
3 : 1 = 3
381654729 : 9 = 42406081
38165472 : 8 = 477068
3816547 : 7 = 545221
381654 : 6 = 63609
38165 : 5 = 7633
3816 : 4 = 954
381 : 3 = 127
38 : 2 = 19
3 : 1 = 3
- Nach Voraussetzung kommt in Z(9) jede Ziffer von 1 bis 9 nur einmal vor und Z(9) muss durch 9 teilbar sein. [ Regel 9 ] ist erfüllt, denn:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 und 45 ist durch 9 teilbar. - Nach Voraussetzung muss Z(5) durch 5 teilbar sein. Nach [ Regel 5 ] mit n aus N halten wir fest: z5 = 5.
- Wir teilen die weiteren Ziffern z1 bis z4 und z6 bis z9 in gerade und ungerade Zifferzahlen auf. Die Ziffern z2, z4, z6 und z8 müssen die geraden Zahlen 2, 4, 6 oder 8 annehmen, weil gerade Zahlen keine ungeraden Zahlen teilen. Daher nehmen die ungeraden Ziffern z1, z3, z7 und z9 in Z(9) die verbliebenen ungeraden Zahlen 1, 3, 7 oder 9 an.
- Nach Voraussetzung muss Z(6) durch 6 teilbar sein. z6 ist (nach 3.) gerade, damit ist Z(6) nach [ Regel 6 ] durch 2 teilbar. Da die Quersummen z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 von Z(6) [ Regel 6 ] und z1 + z2 + z3 von Z(3) [ Regel 3 ] durch 3 teilbar sind, ist auch z4 + z5 + z6 durch 3 teilbar. Mit z5 = 5 (nach 2.) nimmt z4z5z6 zunächst die folgenden durch 3 teilbaren Zifferzahlen 258, 456, 654 oder 852 an.
Nach Voraussetzung muss Z(4) durch 4 teilbar sein, d.h. nach [ Regel 4 ] muss z3z4 durch 4 teilbar sein. Mit z3 = 1, 3, 7 oder 9 (nach 3.) erfüllen von den oben genannten Zifferzahlen nur 258 und 654 mit z4 = 2 und z4 = 6 diese [ Regel 4 ].
Wir halten fest: z4z5z6 = 258 oder 654. - Nach Voraussetzung muss Z(8) durch 8 teilbar sein. Da z6 = 8 oder 4 gerade ist , wird die spezielle Variante der [ Regel 8 ] angewendet. Mit z7 ist ungerade und z8 = 2 oder 6 (alle nach 3.) sind nur die Zifferzahlen z7z8 = 16, 32, 72 oder 96 durch 8 teilbar. Wir halten fest: z7z8 = 16, 32, 72 oder 96.
- Es gilt z4 = 2 oder 6 (nach 4.):
Wenn z4 = 2, dann z6 = 8 und z8 = 6 sowie z7 = 1 oder 9 (nach 5.).
Wenn z4 = 6, dann z6 = 4 und z8 = 2 sowie z7 = 3 oder 7 (nach 5.).
Hieraus (und nach 3.) folgt wieder : z2 = 4 oder 8. - Nach Voraussetzung muss Z(3) durch 3 teilbar sein. Mit [ Regel 3 ] und der Verwendung von z2 = 4 oder 8 (nach 6.) und den ungeraden Zahlen (nach 3.) ergeben sich zum Festhalten: z1z2z3 = 147, 183, 189, 381, 387, 741, 783, 789 , 981 oder 987.
-
Nach 1. bis 7. gibt es folgende Möglichkeiten
für die gesuchte 9-stellige Zahl Z(9)147258963 183654729 189654327 189654723 381654729 741258963 789654321 981654327 981654723 987654321 - Es bleibt nur noch:
Nach Voraussetzung muss Z(7) durch 7 teilbar sein. Es gibt im Zehnersystem zwar eine Teilbarkeitsregel für Zahlen, die durch 7 teilbar sind, aber diese läßt sich nicht mehr so einfach formulieren. Einfacher ist es, jede 7-stellige Zahl der Z(9)-Zahlen aus der Tabelle per Hand durch 7 zu dividieren. Dabei stellt sich heraus, dass aus diesen Zahlen nur Z(7) = 3816547 durch 7 teilbar ist.
Die gesuchte Zahl ist: Z(9) = 381654729
