Denksportaufgaben - Kostenloses Mittagessen

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Kostenloses Mittagessen

10 junge Leute beschlossen, den Abiturabschluß mit einem kameradschaftlichen Mittagessen in einem Restaurant zu feiern. Als sich alle versammelt hatten und das erste Gericht aufgetragen war, gerieten sie über die Sitzordnung in Streit. Die einen schlugen vor, sich in alphabetischer Reihenfolge zu plazieren, die anderen nach dem Alter, wieder andere nach den erreichten Leistungen und noch andere nach der Größe usw.
Der Streit zog sich hin, die Suppe wurde kalt, und keiner setzte sich an den Tisch....
Der Kellner brachte sie zur Ruhe, indem er sich mit folgenden Worten an sie wandte:
"Meine jungen Freunde, laßt euren Zank. Setzt euch an den Tisch, und hört mir zu."
Alle setzten sich wahllos hin.
Der Kellner fuhr fort:
"Einer von euch mag aufschreiben, in welcher Anordnung ihr jetzt hier sitzt. Morgen kommt ihr wieder hierher zum Mittagstisch und setzt euch in anderer Reihenfolge. Übermorgen setzt ihr euch wieder in anderer Reihenfolge und so fort, solange ihr nicht alle möglichen Sitzordnungen durchprobiert habt. Kommt die Reihe daran, wieder so zu sitzen, wie ihr heute sitzt, dann, verspreche ich feierlich, beginne ich euch täglich kostenlos mit den ausgewähltesten Gerichten zu bewirten."
Der Vorschlag gefiel. Es wurde vereinbart, sich täglich in diesem Restaurant zu treffen und alle möglichen Sitzordnungen durchzuprobieren, um so bald als möglich die kostenlosen Mahlzeiten nutzen zu können.
Doch sie konnten diesen Tag nicht erleben. Und nicht etwa, weil der Kellner das Versprechen nicht hielt, sondern weil die Anzahl der möglichen Platzverteilungen überaus groß ist. Es gibt nicht mehr und nicht weniger als 3 628 800 Möglichkeiten. Diese Anzahl von Tagen ergibt, wie unschwer zu errechnen ist, fast 10 000 Jahre!
Es mag euch unwahrscheinlich vorkommen, dass sich 10 Personen in einer solchen großen Anzahl von verschiedenen Anordnungen plazieren können. Prüft die Rechnung selbst.
Vor allem gilt es zu lernen, wie die Zahl der Umstellungen bestimmt wird. Der Einfachheit halber beginnen wir die Rechnung mit einer geringen Zahl von Gegenständen, mit drei. Nennen wir sie A, B und C. Wir möchten wissen, wie oft man sie gegenseitig vertauschen kann.
Gehen wir so heran. Wenn wir zunächst den Gegenstand C beiseite lassen, so kann man die übrigen zwei nur in zwei Anordnungen aufstellen. Nun fügen wir C zu jedem dieser Paare hinzu.
Wir können das auf dreierlei Art tun:
1.   C hinter das Paar stellen;
2.   C vor das Paar stellen;
3.   C zwischen den beiden Gegenständen anordnen.
Andere Positionen für C, außer diesen drei, gibt es offensichtlich nicht. Doch da wir zwei Paare haben, AB und BA, so ergeben sich zusammen 2 x 3 = 6 Anordnungen.
Gehen wir weiter. Machen wir die Rechnung für vier Gegenstände: A, B, C, D.
Wiederum lassen wir zunächst einen Gegenstand, sagen wir D, beiseite. Doch mit den übrigen drei nehmen wir alle möglichen Umstellungen vor. Wir wissen bereits, dass ihre Anzahl sechs ist. In wie vielen Anordnungen kann man den vierten Gegenstand D zu jeder der sechs Positionen der drei Gegenstände hinzufügen? Offenbar kann man:

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Heute ist Samstag, der 21.05.2022

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Wie oft ist die Zahl »2105« in der obigen Zahlenkolonne enthalten?

Lösung

2106210321092101211221012102210420962113~~2105~~209721082097210821102111211021022110
21022113211421042114210620982097209921002111211221022113210221132114210621142097
2108210921012100211121122114~~2105~~211420962104209621072109209820992101210221132102
Die Zahl 2105 ist 2-mal enthalten.